Chi ha detto che la brachistocrona esiste? Introduzione al metodo diretto del calcolo delle variazioni

Galileo Galilei è famoso per aver studiato con approccio moderno vari fenomeni fisici, ed in particolare la caduta dei gravi. curva che rende minimo il tempo di transito. Dopo aver confrontato l'arco di circonferenza con diversi percorsi alternativi, e precisamente con spezzate poligonali costituite da una o più corde dell'arco medesimo, Galileo concluse che «brevissimo sopra tutti i tempi sarà quello della caduta per l'arco». Di lì a poco, grazie alla scoperta del calcolo differenziale, altri celebri scienziati disposero degli strumenti tecnici necessari per estendere ulteriormente gli studi di Galileo, e prendere in considerazione anche curve diverse dalla circonferenza: nacque così il problema della brachistocrona. Per quanto riguarda la dimostrazione dell'esistenza della brachistocrona, sono state sviluppate diverse tecniche adatte allo scopo. In questa sede applichiamo il metodo diretto del calcolo delle variazioni.